2020年JMO予選参加記 - season's quarterly

1月13日(日)に開催された日本数学オリンピック予選に参加しました。

精進

JOI予選が終わってからは競プロの精進をいったん休止して（コンテストには出てた）、学校の図書館で数学オリンピック事典や過去問を借りて、冬休み中に勉強してました。数学オリンピック事典には、JMO以外にもAIMEやUSAMOなどの海外の問題もあり、分野ごとに問題を解くときのコツなどが紹介されていたのでとても参考になりました。他にもだま (@dama_math) | TwitterさんのJMO本選模試をやったりしました。

JMO本選模試です pic.twitter.com/Cbur9voav2
— だま (@dama_math) 2019年12月29日

当日

競技前

電車に乗ったときから腹痛でした（こういうイベントのときに腹痛になるのやめたい）。予選会場の最寄り駅のトイレで下して、ことなきを得ました。

予選

1

百の位を $a$ ,一の位を $b$ と置くと、 $2a+b \equiv 0 \pmod{7}$ なので全て求めると14個。

2

正六角形の中心を $O$ と置くと、 $\triangle{HOC}$ は $\triangle{GBC}$ を右に60°回転させたものなので、 $B,O,H,E$ が水平に位置していることが分かります。つまり $\triangle{EFH}$ は直角三角形なので、 $EH=\frac{1}{2},FE=\frac{\sqrt{3}}{2}$ より面積は $\frac{\sqrt{3}}{8}$ 。

3

6は1,5としか隣合わないので隅に置く。1,5の置き方が2通りあり、2,4の置き方が2通りあるので、 $4\times 2\times 2 = 16$ 通り。

4

$n^2$ が二桁のとき、 $n^2 < 10^2,n^3 < 10^3$ より不適。
$n^2$ が四桁のとき。 $32^2 \leqq n^2,32^3 \leqq n^3$ より不適。

従って $n^2$ が三桁、 $n^3$ が五桁となる。 $10^2 \leqq n^2 < 10^3, 10^4 \leqq n^3 < 10^5$ より $22 \leqq n \leqq 31$ 。本番はごり押しで $n = 24$ となりました。

5

まず絶対値が最小のものを考えると、 $x_i$ がそれぞれ $0,1,2,1,2,2,3,3,2,3$ となる。これは符号が負になってしまうので、 $x_i$ のうちの一つを $x_i^2 - i$ を符号が逆で、二番目に小さくなるように選ぶ。倍率を考えると、 $x_9$ を $2$ から $3$ に変えると、 $\frac{7}{5}$ で二番目に小さくなるので、答えは84。

6

大きい正方形の左上の頂点から点線に向かって垂線を引くと直角三角形ができます。この直角三角形に三平方の定理を適用して、
$\sqrt{3^2 - \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2} = \sqrt{\frac{17}{2}}$
となる。直角三角形に含まれる鋭角三角形の辺の長さはそれぞれ $1 , \frac{\sqrt{17}-1}{\sqrt{2}} , 3$ となる。この三角形は三つの正方形の斜辺がなす三角形と相似なので、二番目に大きい正方形の一辺の長さは、 $\frac{\sqrt{17} - 1}{\sqrt{2}}$ となる。余弦定理を適用すると鋭角の $\cos$ は、
$\frac{1^2 + \left( \frac{\sqrt{17} - 1}{\sqrt{2}} \right)^2 - 3^2}{2 \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{17} - 1}{\sqrt{2}} } = \frac{1 - \sqrt{17}}{\sqrt{2}(\sqrt{17} - 1)} = - \frac{1}{\sqrt{2}}$
なので鋭角は135°である。つまり斜線の三角形の二つの正方形に挟まれる角は $135 - 45 - 45 = 45$ なので面積は、
$\frac{1}{2} \times 1 \times \frac{\sqrt{17} - 1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{17} - 1}{4}$

7

DPをします。 $a,b$ の差が $2$ または $3 \Leftrightarrow b - a \equiv 2,3 \pmod{5}$ と考えると分かりやすいです。一般に $2 \times n$ のマス目を考えて、列を増やしていくと右端の2マスに対してそれぞれ3通りの数字の列を付け加えることができます。 $n = 1$ のとき $10$ 通りなので、 $10 \times 3^{1009}$ となる。

8

初期値を $1,2,3,4,5$ としてしまったため、 $2^{34}$ と書いてしまった。正答は $9 \times 2^{19}$ です。
この時点で時計を見るとまだ1時間ほどでした。それからしばらく9番を考えていました。

12

後半の問題は全く分からなかったので、唯一頑張れば当たりうる12番の構築をやっていました。とりあえず19が構成できました。

その後のムーブ

解けそうにない9-11を適当に埋めたあと、15:00-15:30で1-8の見直しをしました。最初1番を15、5番を120と書いていたので結構危なかったです。時間に余裕のあるうちに見直しができて良かったです。最後の30分はもう一度12番を考えて、22を構成しました。

終了後

直ぐにTwitter上で解答があがりました。8を間違えてしまっていたようなので悔しかったですが、とりあえず7点とれたらしいので良かったです。12番は23が構築できたらしいのでかなり惜しかった。今回は去年に比べて易化していて、ボーダーは8とか9とか言われていて、最高点は11点のようです。例年、Aランクの最高 - 最低 = 3 or 4なので本戦は微妙でした。

感想と結果

競技前はかなり緊張していたのですが、本番は去年よりも落ち着いて臨めたので良かったです。幾何は座標を使わずに解けて嬉しかった。あと4番の $24^2 = 576, 24^3 = 13824$ はかなり気に入りました。
予選突破者は正式発表されてなかったのですが、URLをエスパーしてTwitterで流れてきました。（その後正式に発表されたらしい）JMOのボーダーは8点で、最高点は11点でした。去年よりも成長したと思っていたし、成功したと思っていたので、とても悔しかったです。しかも最初7点だと思ったのがJJMOのボーダーだったという後味の悪いムーブをしました。数学オリンピックは結局二回しか出ませんでしたが、去年本戦に出れただけでも良かったと思うことにします。本戦erは各位頑張ってください。